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       2              : // See LICENSE.txt for details.
       3              : 
       4              : #pragma once
       5              : 
       6              : #include <cstddef>
       7              : 
       8              : #include "DataStructures/DataBox/Prefixes.hpp"
       9              : #include "DataStructures/DataBox/Tag.hpp"
      10              : #include "DataStructures/DataVector.hpp"
      11              : #include "DataStructures/Tensor/TypeAliases.hpp"
      12              : #include "Evolution/Systems/GeneralizedHarmonic/Tags.hpp"
      13              : #include "PointwiseFunctions/GeneralRelativity/Tags.hpp"
      14              : #include "Utilities/Gsl.hpp"
      15              : #include "Utilities/TMPL.hpp"
      16              : 
      17              : /// \cond
      18              : namespace domain {
      19              : namespace Tags {
      20              : template <size_t Dim, typename Frame>
      21              : struct Coordinates;
      22              : }  // namespace Tags
      23              : }  // namespace domain
      24              : class DataVector;
      25              : /// \endcond
      26              : 
      27              : namespace gh {
      28              : /// @{
      29              : /*!
      30              :  * \ingroup GeneralRelativityGroup
      31              :  * \brief Computes time derivative of lapse (\f$\alpha\f$) from the generalized
      32              :  *        harmonic variables, lapse, shift and the spacetime unit normal 1-form.
      33              :  *
      34              :  * \details Let the generalized harmonic conjugate momentum and spatial
      35              :  * derivative variables be \f$\Pi_{ab} = -n^c \partial_c g_{ab} \f$ and
      36              :  * \f$\Phi_{iab} = \partial_i g_{ab} \f$, and the operator
      37              :  * \f$D := \partial_0 - \beta^k \partial_k \f$. The time derivative of
      38              :  * \f$\alpha\f$ is then:
      39              :  *
      40              :  * \f{align*}
      41              :  *  \frac{1}{2} \alpha^2 n^a n^b \Pi_{ab}
      42              :  *       - \frac{1}{2} \alpha \beta^i n^a n^b \Phi_{iab}
      43              :  *  =& \frac{1}{2} \alpha^2 n^a n^b n^c \partial_c g_{ab}
      44              :  *       - \frac{1}{2} \alpha \beta^i (-(2/\alpha) \partial_i \alpha) \\
      45              :  *  =& \frac{1}{2} \alpha^2 [ \\
      46              :  *       &-(1/\alpha^3) D[\gamma_{jk} \beta^j \beta^k - \alpha^2] \\
      47              :  *       &- (\beta^j \beta^k / \alpha^3)D[\gamma_{jk}] \\
      48              :  *       &+ 2 (\beta^j / \alpha^3) D[\gamma_{jk} \beta^k] \\
      49              :  *       &+ (2 / \alpha^2)(\beta^i \partial_i \alpha)]] \\
      50              :  *  =& \frac{1}{2\alpha} [-D[\gamma_{jk}\beta^j\beta^k - \alpha^2]
      51              :  *       - \beta^j\beta^k D[\gamma_{jk}] + 2\alpha \beta^k\partial_k \alpha
      52              :  *       + 2\beta^j D[\gamma_{jk}\beta^k]] \\
      53              :  *  =& D[\alpha] + \beta^k\partial_k \alpha \\
      54              :  *  =& \partial_0 \alpha
      55              :  * \f}
      56              :  *
      57              :  * where the simplification done for \f$\partial_i \alpha\f$ is used to
      58              :  * substitute for the second term (\f$\frac{1}{2} \alpha \beta^i n^a n^b
      59              :  * \Phi_{iab}\f$).
      60              :  *
      61              :  * Thus,
      62              :  *
      63              :  * \f[
      64              :  *  \partial_0 \alpha =
      65              :  *      (\alpha/2)(\alpha n^a n^b \Pi_{ab} - \beta^i n^a n^b \Phi_{iab})
      66              :  * \f]
      67              :  *
      68              :  */
      69              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      70            1 : void time_deriv_of_lapse(
      71              :     gsl::not_null<Scalar<DataType>*> dt_lapse, const Scalar<DataType>& lapse,
      72              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& shift,
      73              :     const tnsr::A<DataType, SpatialDim, Frame>& spacetime_unit_normal,
      74              :     const tnsr::iaa<DataType, SpatialDim, Frame>& phi,
      75              :     const tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>& pi);
      76              : 
      77              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      78            1 : Scalar<DataType> time_deriv_of_lapse(
      79              :     const Scalar<DataType>& lapse,
      80              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& shift,
      81              :     const tnsr::A<DataType, SpatialDim, Frame>& spacetime_unit_normal,
      82              :     const tnsr::iaa<DataType, SpatialDim, Frame>& phi,
      83              :     const tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>& pi);
      84              : /// @}
      85              : 
      86              : namespace Tags {
      87              : /*!
      88              :  * \brief Compute item to get time derivative of lapse (\f$\alpha\f$) from the
      89              :  *        generalized harmonic variables, lapse, shift and the spacetime unit
      90              :  *        normal 1-form.
      91              :  *
      92              :  * \details See `time_deriv_of_lapse()`. Can be retrieved using
      93              :  * `gr::Tags::Lapse` wrapped in `Tags::dt`.
      94              :  */
      95              : template <size_t SpatialDim, typename Frame>
      96            1 : struct TimeDerivLapseCompute : ::Tags::dt<gr::Tags::Lapse<DataVector>>,
      97              :                                db::ComputeTag {
      98            0 :   using argument_tags =
      99              :       tmpl::list<gr::Tags::Lapse<DataVector>,
     100              :                  gr::Tags::Shift<DataVector, SpatialDim, Frame>,
     101              :                  gr::Tags::SpacetimeNormalVector<DataVector, SpatialDim, Frame>,
     102              :                  Phi<DataVector, SpatialDim, Frame>,
     103              :                  Pi<DataVector, SpatialDim, Frame>>;
     104              : 
     105            0 :   using return_type = Scalar<DataVector>;
     106              : 
     107            0 :   static constexpr auto function = static_cast<void (*)(
     108              :       gsl::not_null<Scalar<DataVector>*>, const Scalar<DataVector>&,
     109              :       const tnsr::I<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     110              :       const tnsr::A<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     111              :       const tnsr::iaa<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     112              :       const tnsr::aa<DataVector, SpatialDim, Frame>&)>(
     113              :       &time_deriv_of_lapse<DataVector, SpatialDim, Frame>);
     114              : 
     115            0 :   using base = ::Tags::dt<gr::Tags::Lapse<DataVector>>;
     116              : };
     117              : }  // namespace Tags
     118              : }  // namespace gh