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       2              : // See LICENSE.txt for details.
       3              : 
       4              : #pragma once
       5              : 
       6              : #include <cstddef>
       7              : 
       8              : #include "DataStructures/DataBox/Prefixes.hpp"
       9              : #include "DataStructures/DataBox/Tag.hpp"
      10              : #include "DataStructures/DataVector.hpp"
      11              : #include "DataStructures/Tensor/Tensor.hpp"
      12              : #include "Evolution/Systems/GeneralizedHarmonic/Tags.hpp"
      13              : #include "PointwiseFunctions/GeneralRelativity/Tags.hpp"
      14              : #include "Utilities/ContainerHelpers.hpp"
      15              : #include "Utilities/Gsl.hpp"
      16              : #include "Utilities/TMPL.hpp"
      17              : 
      18              : /// \cond
      19              : class DataVector;
      20              : template <typename X, typename Symm, typename IndexList>
      21              : class Tensor;
      22              : /// \endcond
      23              : 
      24              : namespace gh {
      25              : /// @{
      26              : /*!
      27              :  * \ingroup GeneralRelativityGroup
      28              :  * \brief Computes the second time derivative of the spacetime metric from the
      29              :  * generalized harmonic variables, lapse, shift, and the spacetime unit normal
      30              :  * 1-form.
      31              :  *
      32              :  * \details Let the generalized harmonic conjugate momentum and spatial
      33              :  * derivative variables be \f$\Pi_{ab} = -n^c \partial_c g_{ab} \f$ and
      34              :  * \f$\Phi_{iab} = \partial_i g_{ab} \f$.
      35              :  *
      36              :  * Using eq.(35) of \cite Lindblom2005qh (with \f$\gamma_1 = -1\f$) the first
      37              :  * time derivative of the spacetime metric may be expressed in terms of the
      38              :  * above variables:
      39              :  *
      40              :  * \f[
      41              :  * \partial_0 g_{ab} = - \alpha \Pi_{ab} + \beta^k \Phi_{kab}
      42              :  * \f]
      43              :  *
      44              :  * As such, its second time derivative is simply the following:
      45              :  *
      46              :  * \f[
      47              :  * \partial^2_0 g_{ab}
      48              :  *   = - (\partial_0 \alpha) \Pi_{ab} - \alpha \partial_0 \Pi_{ab}
      49              :  *     + (\partial_0 \beta^k) \Phi_{kab} + \beta^k \partial_0 \Phi_{kab}
      50              :  * \f]
      51              :  *
      52              :  */
      53              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      54            1 : void second_time_deriv_of_spacetime_metric(
      55              :     gsl::not_null<tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>*> d2t2_spacetime_metric,
      56              :     const Scalar<DataType>& lapse, const Scalar<DataType>& dt_lapse,
      57              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& shift,
      58              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_shift,
      59              :     const tnsr::iaa<DataType, SpatialDim, Frame>& phi,
      60              :     const tnsr::iaa<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_phi,
      61              :     const tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>& pi,
      62              :     const tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_pi);
      63              : 
      64              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      65            1 : tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame> second_time_deriv_of_spacetime_metric(
      66              :     const Scalar<DataType>& lapse, const Scalar<DataType>& dt_lapse,
      67              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& shift,
      68              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_shift,
      69              :     const tnsr::iaa<DataType, SpatialDim, Frame>& phi,
      70              :     const tnsr::iaa<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_phi,
      71              :     const tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>& pi,
      72              :     const tnsr::aa<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_pi);
      73              : /// @}
      74              : 
      75              : namespace Tags {
      76              : /*!
      77              :  * \brief Compute item to get second time derivative of the spacetime metric
      78              :  *        from generalized harmonic and geometric variables
      79              :  *
      80              :  * \details See `second_time_deriv_of_spacetime_metric()`. Can be retrieved
      81              :  * using `gr::Tags::SpacetimeMetric` wrapped in `Tags::dt<Tags::dt>>`.
      82              :  */
      83              : template <size_t SpatialDim, typename Frame>
      84            1 : struct SecondTimeDerivOfSpacetimeMetricCompute
      85              :     : ::Tags::dt<
      86              :           ::Tags::dt<gr::Tags::SpacetimeMetric<DataVector, SpatialDim, Frame>>>,
      87              :       db::ComputeTag {
      88            0 :   using argument_tags =
      89              :       tmpl::list<gr::Tags::Lapse<DataVector>,
      90              :                  ::Tags::dt<gr::Tags::Lapse<DataVector>>,
      91              :                  gr::Tags::Shift<DataVector, SpatialDim, Frame>,
      92              :                  ::Tags::dt<gr::Tags::Shift<DataVector, SpatialDim, Frame>>,
      93              :                  Phi<DataVector, SpatialDim, Frame>,
      94              :                  ::Tags::dt<Phi<DataVector, SpatialDim, Frame>>,
      95              :                  Pi<DataVector, SpatialDim, Frame>,
      96              :                  ::Tags::dt<Pi<DataVector, SpatialDim, Frame>>>;
      97              : 
      98            0 :   using base = ::Tags::dt<
      99              :       ::Tags::dt<gr::Tags::SpacetimeMetric<DataVector, SpatialDim, Frame>>>;
     100            0 :   using return_type = typename base::type;
     101              : 
     102            0 :   static constexpr auto function = static_cast<void (*)(
     103              :       gsl::not_null<tnsr::aa<DataVector, SpatialDim, Frame>*>,
     104              :       const Scalar<DataVector>&, const Scalar<DataVector>&,
     105              :       const tnsr::I<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     106              :       const tnsr::I<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     107              :       const tnsr::iaa<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     108              :       const tnsr::iaa<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     109              :       const tnsr::aa<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
     110              :       const tnsr::aa<DataVector, SpatialDim, Frame>&)>(
     111              :       &second_time_deriv_of_spacetime_metric<DataVector, SpatialDim, Frame>);
     112              : };
     113              : }  // namespace Tags
     114              : }  // namespace gh