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       2              : // See LICENSE.txt for details.
       3              : 
       4              : #pragma once
       5              : 
       6              : #include <cstddef>
       7              : 
       8              : #include "DataStructures/Tensor/TypeAliases.hpp"
       9              : #include "PointwiseFunctions/GeneralRelativity/Tags.hpp"
      10              : #include "Utilities/Gsl.hpp"
      11              : 
      12              : /// \ingroup GeneralRelativityGroup
      13              : /// Holds functions related to general relativity.
      14              : namespace gr {
      15              : /// @{
      16              : /*!
      17              :  * \ingroup GeneralRelativityGroup
      18              :  * \brief  Computes extrinsic curvature from metric and derivatives.
      19              :  * \details Uses the ADM evolution equation for the spatial metric,
      20              :  * \f[ K_{ij} = \frac{1}{2 \alpha} \left ( -\partial_0 \gamma_{ij}
      21              :  * + \beta^k \partial_k \gamma_{ij} + \gamma_{ki} \partial_j \beta^k
      22              :  * + \gamma_{kj} \partial_i \beta^k \right ) \f]
      23              :  * where \f$K_{ij}\f$ is the extrinsic curvature, \f$\alpha\f$ is the lapse,
      24              :  * \f$\beta^i\f$ is the shift, and \f$\gamma_{ij}\f$ is the spatial metric. In
      25              :  * terms of the Lie derivative of the spatial metric with respect to a unit
      26              :  * timelike vector \f$n^a\f$ normal to the spatial slice, this corresponds to
      27              :  * the sign convention
      28              :  * \f[ K_{ab} = - \frac{1}{2} \mathcal{L}_{\mathbf{n}} \gamma_{ab} \f]
      29              :  * where \f$\gamma_{ab}\f$ is the spatial metric. See Eq. (2.53) in
      30              :  * \cite BaumgarteShapiro.
      31              :  */
      32              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      33            1 : tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame> extrinsic_curvature(
      34              :     const Scalar<DataType>& lapse,
      35              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& shift,
      36              :     const tnsr::iJ<DataType, SpatialDim, Frame>& deriv_shift,
      37              :     const tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>& spatial_metric,
      38              :     const tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_spatial_metric,
      39              :     const tnsr::ijj<DataType, SpatialDim, Frame>& deriv_spatial_metric);
      40              : 
      41              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      42            1 : void extrinsic_curvature(
      43              :     gsl::not_null<tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>*> ex_curvature,
      44              :     const Scalar<DataType>& lapse,
      45              :     const tnsr::I<DataType, SpatialDim, Frame>& shift,
      46              :     const tnsr::iJ<DataType, SpatialDim, Frame>& deriv_shift,
      47              :     const tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>& spatial_metric,
      48              :     const tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>& dt_spatial_metric,
      49              :     const tnsr::ijj<DataType, SpatialDim, Frame>& deriv_spatial_metric);
      50              : /// @}
      51              : 
      52              : /// @{
      53              : /*!
      54              :  * \ingroup GeneralRelativityGroup
      55              :  * \brief  Computes the spatial covariant derivative of the extrinsic curvature.
      56              :  *  \details The spatial covariant derivative is computed as
      57              :  * \f[ D_k K_{ij} = \partial_k K_{ij} - {^{(3)}\Gamma^{l}_{ki}} K_{lj}
      58              :  * - {^{(3)}\Gamma^{l}_{kj}}K_{il} \f]
      59              :  * where \f$ {^{(3)}\Gamma^{k}_{ij}} \f$ is the spatial Christoffel symbol of
      60              :  * the second kind.
      61              :  */
      62              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      63              : tnsr::ijj<DataType, SpatialDim, Frame>
      64            1 : covariant_derivative_of_extrinsic_curvature(
      65              :     const tnsr::ijj<DataType, SpatialDim, Frame>& d_ex_curv,
      66              :     const tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>& ex_curv,
      67              :     const tnsr::Ijj<DataType, SpatialDim, Frame>&
      68              :         spatial_christoffel_second_kind);
      69              : template <typename DataType, size_t SpatialDim, typename Frame>
      70            1 : void covariant_derivative_of_extrinsic_curvature(
      71              :     gsl::not_null<tnsr::ijj<DataType, SpatialDim, Frame>*> grad_ex_curv,
      72              :     const tnsr::ijj<DataType, SpatialDim, Frame>& d_ex_curv,
      73              :     const tnsr::ii<DataType, SpatialDim, Frame>& ex_curv,
      74              :     const tnsr::Ijj<DataType, SpatialDim, Frame>&
      75              :         spatial_christoffel_second_kind);
      76              : /// @}
      77              : 
      78              : namespace Tags {
      79              : /// \copydoc covariant_derivative_of_extrinsic_curvature
      80              : template <size_t SpatialDim, typename Frame>
      81            1 : struct CovariantDerivativeOfExtrinsicCurvatureCompute
      82              :     : gr::Tags::CovariantDerivativeOfExtrinsicCurvature<DataVector, SpatialDim,
      83              :                                                         Frame>,
      84              :       db::ComputeTag {
      85            0 :   using argument_tags = tmpl::list<
      86              :       ::Tags::deriv<gr::Tags::ExtrinsicCurvature<DataVector, SpatialDim, Frame>,
      87              :                     tmpl::size_t<SpatialDim>, Frame>,
      88              :       gr::Tags::ExtrinsicCurvature<DataVector, SpatialDim, Frame>,
      89              :       gr::Tags::SpatialChristoffelSecondKind<DataVector, SpatialDim, Frame>>;
      90              : 
      91            0 :   using return_type = tnsr::ijj<DataVector, SpatialDim, Frame>;
      92              : 
      93            0 :   static constexpr auto function = static_cast<void (*)(
      94              :       const gsl::not_null<tnsr::ijj<DataVector, SpatialDim, Frame>*>,
      95              :       const tnsr::ijj<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
      96              :       const tnsr::ii<DataVector, SpatialDim, Frame>&,
      97              :       const tnsr::Ijj<DataVector, SpatialDim, Frame>&
      98              :           spatial_christoffel_second_kind)>(
      99              :       &covariant_derivative_of_extrinsic_curvature<DataVector, SpatialDim,
     100              :                                                    Frame>);
     101              : 
     102            0 :   using base =
     103              :       gr::Tags::CovariantDerivativeOfExtrinsicCurvature<DataVector, SpatialDim,
     104              :                                                         Frame>;
     105              : };
     106              : }  // namespace Tags
     107              : }  // namespace gr